抛物线Y^2=8X的动弦AB长为16,求弦AB的中点M到Y轴的最短距离

设A（x1,y1）B(x2,y2)
弦AB的中点M到Y轴的距离最短,则弦AB过焦点
y^2=8x
焦点（2，0）准线x=-2
AB的长为16
则x1+2+x2+2=16
x1+x2=12
中点M到Y轴的距离=(x1+x2)/2=6

弦AB:x=ky+b
y^2=8x=8(ky+b)
y^2-8ky-8b=0
yA+yB=8k,yA*yB=-8b
(yA-yB)^2=(yA+yB)^2-4yA*yB=64k^2+32b
(xA-xB)^2=k^2*(yA-yB)^2
|AB|=16
AB^2=(xA-xB)^2+(yA-yB)^2=(1+k^2)*((64k^2+32b)
16^2=(1+k^2)*((64k^2+32b)
b=[8/(1+k^2)]-2k^2
4/(1+k^2)+3(1+k^2)≥4√3
xA+xB=k(yA+yB)+2b=8k^2+2b=8k^2+[8/(1+k^2)]-2k^2=[8/(1+k^2)]+6k^2
xM=(xA+xB)/2=[4/(1+k^2)]+3k^2=4/(1+k^2)+3(1+k^2)-3≥4√3-3
弦AB的中点M到Y轴的最短距离=4√3-3